実際の失業保険が降りるのは３ヵ月後からカウントされ入金されるのは４ヵ月後です。3ヶ月待機中のバイトについて7月20日付けで4年務めた会社を自己退職します。自己都合による３ヵ月の給付制限期間はアルバイトが出来ます。

今年3月末に自己都合により退職し、現在フリーターです。離職票が手元に届いたら失業保険を申請する予定でいますが、離職票が届くまで期間にアルバイトしても問題ないでしょうか？
昔のアルバイト先で人手が足りないそうで、「経験者だと助かるから、すぐにでも来てほしい」と言われています。
勤務時間も就職活動と並行して行えるくらいの時間数なので、非常にありがたい話なのですが、失業保険を申請する予定でいるので後々問題にならないか不安です。

問題ありません。
但し、離職票が届きハローワークへ申請に行かれてから７日間は待機期間と言うものがあり、完全失業状態を求められます。
自己都合による離職の場合は待機期間後に３ヶ月の給付制限期間が付きます、給付制限期間中及び給付中は一定時間・日数以内の就労であれば可能です（時間・日数はハローワークごとに基準に差がありますので当該ハローワークでご確認ください）

勤めていた会社が任期満了にて退職する事になりました。
会社都合での退社なので翌月から失業保険が３ヶ月受給されます。
次の仕事が決まるまで少しでも食費を稼ぎたいので、受給期間中に短時間でもアルバイトをしたり、日雇い労働をと思います。

受給期間中でも月に何時間以内なら（又は何日以内なら）保険料が引かれたり先延ばしされずに受給されると聞きましたが、月何時間以内なら大丈夫なのですか？

受給期間中についての基準を貼っておきますので参考に。

＜受給中のアルバイト・パート等に関する基準＞
① 週２０時間未満で１日４時間以上であれば認定日にバイトした日にち分だけの基本手当日額は支給されないが、後に繰り越され、その日数分は後でもらえる。この場合はバイト賃金の金額は特に制限されない。ただし、日給が最低賃金（２３２０円）以下だと減額支給される場合があります。（これはほとんど例がありません）
② 週２０時間未満で１日４時間未満の場合、バイト賃金から控除額（１２９６円）を控除した額と基本手当日額の合計が賃金日額の８０％を超えるとき、超える分だけ基本手当日額が減額される
計算式：［（バイト賃金－１２９６円）＋基本手当日額］－（賃金日額×８０％）＝基本手当日額から控除される金額
注）賃金日額とは雇用保険受給資格者証にある離職時賃金日額のこと。
＊上記バイト賃金が賃金日額の８０％を超える場合、基本手当は支給されない。
＊バイト賃金から控除１２９６円を引いた金額と基本手当日額の合計が賃金日当の８０％以内なら全額支給される。

3ヶ月待機中のバイトについて
7月20日付けで4年務めた会社を自己退職します。（社会保険加入）

21日から7日の間は働きません。
「ざっと考えて」になりますが、8月あたりから週20時間以下の短期・短時間のバイトをしようと思います。

7月に辞めたあとの3ヶ月待機ののち失業保険は10月から（だいたいですが）になりますか？
要するに、例えば2カ月、短期・短時間バイトをしたので12月からです。ってことにならないかどうかです。3ヶ月待機中に働いたから期間がズレるなどがあるかどうかです。

また、バイトは別々のところで20時間以下で働くとダメなのでしょうか？
たとえば、昼にスーパーで週20時間以下で短期、夜に居酒屋で週20時間以下で短期というのはいけないのでしょうか？働くと「失業状態でない」と判断されて、ズレるのでしょうか？

こうやって3ヶ月過ごしたことは職安に報告しなければいけないのですか？

わかる方いらっしゃいましたら教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

自己都合による３ヵ月の給付制限期間はアルバイトが出来ます。失業保険も減ることはありません。
がアルバイトの日数や時間等により就職したと見なされる場合がありますが殆どの場合は問題ないと思います。

実際の失業保険が降りるのは３ヵ月後からカウントされ入金されるのは４ヵ月後です。
ただ住民税と国保で半分以上取られます。